北京大学2001年抽象代数[逻辑学]考研试题

考研大纲/试题:全国|北大
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考试科目:抽象代数
招生专业:逻辑学
研究方向:
一、(10分)G是群,a∈G,a的阶| a | =n。证明:任给整数k,aκ的阶| aκ |=n/(n,k),其中(n,k)是n和k的最大公约数。
二、(10分)G是群,H是G的子群,K是G的正规子群。证明:
(1) KH=HK
(2) KH是G的子群。
三、(20分) G是一个群,令
Z(G)={a∈G| 任给x∈G,都有ax=xa}。
任给a∈G,构造G到G的映射
ηa:G→G ηa(x)=axa-1,
再令
G′={ηa| a∈G}。
证明:


 

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